Pada selang \(-1 \leq x \leq 2\), fungsi \(y = x^3-3x^2+3\) mempunyai nilai maksimum…
- -6
- -1
- 3
- 6
- 8
(SPMB 2005 Regional I)
Pembahasan:
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi \(f(x)\) dapat ditentukan dengan uji turunan pertama dan kedua. Langkah-langkah untuk mencari nilai minimum dan maksimum dari suatu fungsi, yaitu:
- Tentukan titik stasionernya, yakni nilai \(x\) yang membuat \(f’(x) = 0\).
- Gunakan uji turunan kedua untuk menentukan nilai \(x\) mana yang membuat fungsi \(f(x)\) minimum atau maksimum. Jika \(x=a\) memenuhi \( f’(a) = 0 \) dan \(f’’(a) > 0\) maka \(x=a\) adalah pembuat \(f(x)\) minimum atau nilai minimum \(f(x)\) adalah \(f(a)\). Sebaliknya, jika \(x=a\) memenuhi \(f’(a) = 0\) dan \(f’’(a) < 0\) maka \(x=a\) adalah pembuat \(f(x)\) maksimum atau nilai maksimum \(f(x)\) adalah \(f(a)\).
Untuk langkah pertama, kita peroleh nilai \(x\) yang membuat \(f’(x) = 0\) adalah 0 dan 2, yakni:
\begin{aligned} f(x) &= x^3-3x^2+3 \\[8pt] f'(x) &= 3x^2-6x \Leftrightarrow f'(x) = 0 \\[8pt] 0 &= 3x^2-6x \Leftrightarrow 0 = 3x(x-2) \\[8pt] x &= 0 \quad \text{atau} \quad x = 2 \end{aligned}
Ini artinya \(f(x)\) akan maksimum/minimum di \(x=0\) atau \(x=2\). Selanjutnya, sesuai langkah 2 di atas, kita peroleh:
\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2-6x \\[8pt] f''(x) &= 6x-6 \\[8pt] f''(0) &= 6(0)-6 \\[8pt] &= -6 < 0 \quad \Rightarrow \text{nilai maksimum di f(0)} \\[8pt] f''(2) &= 6(2)-6 \\[8pt] &= 6 > 0 \quad \Rightarrow \text{nilai minimum di f(2)} \end{aligned}
Berdasarkan hasil di atas, nilai minimum di \(f(2)\) dan nilai maksimum di \(f(0)\) sehingga kita peroleh:
\begin{aligned} f(x) &= x^3-3x^2+3 \\[8pt] f(0) &= 0^3-2(0)^2+3 = 3 \\[8pt] f(2) &= 2^3-3(2)^2+3 = -1 \end{aligned}
Jadi, kita peroleh nilai minimumnya yaitu -1 dan nilai maksimumnya 3.
Sebenarnya, kita juga bisa mencari nilai minimum dan maksimum tanpa menggunakan uji turunan kedua. Perhatikan bahwa setelah langkah pertama, kita langsung substitusi nilai \(x\) yang diperoleh ke fungsi \(f(x)\), kemudian menentukan nilai minimum dan maksimumnya.
\begin{aligned} f(x) &= x^3-3x^2+3 \\[8pt] f(0) &= 0^3-3(0)^2+3 \\[8pt] &= 3 \quad \text{(maksimum)} \\[8pt] f(2) &= 2^3-3(2)^2+3 \\[8pt] &= -1 \quad \text{(minimum)} \end{aligned}
Jawaban C.